2008年9月1日星期一

匈人

匈人

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匈奴帝國（深色部份）
匈奴帝国（深色部份）

匈人（Hun）是一个古代生活在欧亚大陆的游牧民族在汉语中的称呼。他们在4世纪西迁到了欧洲东部，并入侵东、西罗马帝国。欧洲的古文献对此一民族及其在欧洲的事迹有若干叙述。

现代中文书籍有时也把他们称为"匈奴人"，但他们和中国古代的匈奴是否有血缘关系或系同一民族尚无定论。近年来使用DNA等测试手段也未能回答这一问题。认为这两个民族系出同源的最主要证据是北匈奴西迁和三百年后在欧洲出现的匈人时间上的吻合。[1]。

匈人的种族、语系，至今仍未能考证。现代考古学只透过欧亚草原出土的文物，了解此一古民族的历史。据传说，匈人的个子并不高大，高鼻梁、近似黄色肤 色，似中亚人种，善骑射、作战，因长时间骑在马上活动，站立于地上时双脚向外扭曲，颇重视商贸活动，可受聘为雇佣兵，收取报酬为其他国家参战。

目录

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[编辑] 出现

东北亚的北匈奴在被汉朝军队击败之后西迁，其后是否成了入侵欧洲的匈人尚无定论。肯定这一想法的人认为，北匈奴远走欧洲，一部分在高加索，一部分在中伏尔加河地区（今天的俄罗斯鞑靼自治共和国），一部分在下多瑙河（今天的保加利亚），一部分在中多瑙河（今天的匈牙利）。中亚匈奴，一部分与图兰低地民族融合（中亚两河地区），一部分在阿富汗山区，一部分在印度旁遮普邦。

在3世纪末，这个几乎消失了的民族，或者一个新兴的草原民族，突然出现在人们的视野内，东征西讨建立了一个庞大的帝国。在欧洲文献里他们被称为匈人（Hun），中文又译匈奴人。匈人于350年左右进入了欧洲，随后在称为巴兰比尔王的领导下开始了他们的征服战争，第一个目标便是当时称为阿兰的突厥人国度。

[编辑] 阿兰人的灭亡

350年，当时的阿兰国堪称强国，阿兰王倾全国之兵与匈奴军战于顿河沿岸，却遭惨败，阿兰王被杀，阿兰国灭，阿兰余部最终臣服于匈人。匈人在西方史书第一次出现即伴随着阿兰国的灭亡，整个西方世界为之震动。灭亡阿兰国后，匈人在顿河流域附近逗留了几年，然后在他们年迈的国王巴兰比尔的带领下继续向西方进攻。

[编辑] 对日耳曼民族的征服

374年时，位于黑海北岸、日耳曼人所建立的东哥特王国是一个成立不久的国家。它辽阔的疆土东起至顿河，与阿兰人接壤；西至德聂特河与西哥特人为邻；南起黑海北至德聂斯特河的支流，普利派特河沼地；匈人联同被征服的阿兰人，大军进入东哥特领土，曾被东哥特人征服的部落乘机造反，内乱以致东哥特人屡战屡败，终于375年投降。

东哥特人灭国后，匈人接着继续向西，西哥特人以德聂斯特河为险，布兵防守，试图击匈奴军于半渡。匈人军队一边在河对岸作势佯攻，大部却从上游乘夜偷渡再回攻。这边西哥特人在河岸构筑工事备战正酣，却不料被拦腰一顿痛打，数十万人马渡过多瑙河逃入罗马帝国境内，并于378年在阿德里雅堡大败罗马皇帝瓦伦斯，由此动摇了罗马的根基，罗马再也没法控制管辖下的诸侯和领土。

匈人再征服北方的诸日耳曼部落，夺取了潘诺尼亚平原。由此，起自黑海至多瑙河以北的大片地土，尽入匈人之手。匈人驱逐日耳曼人等民族使得民族大迁徙，从而灭亡罗马帝国。

[编辑] 对拜占庭和色雷斯各省的进攻

395年冬，匈人攻入色雷斯，大掠而返。400年，匈人再次攻入色雷斯，以后对色雷斯连年侵扰。431年，东罗马帝国不得已，答应每年向匈人交纳贡税，并允许他们在境内的几个城镇进行互市。

435年左右，阿提拉对南俄罗斯和波斯帝国发动了一系列的突袭。不久他将目光投向了拜占庭，逼使东罗马缴纳更多的贡税，并且不断插手西罗马帝国的外交事务。罗马自然无法满足这年年高升的贡税，匈人则以此为借口于441年向拜占庭宣战，大肆洗劫巴尔干半岛，442年才被东罗马的阿斯帕尔将军阻截于色雷斯地区，被迫后撤。

443年，匈人攻到东罗马首都君士坦丁堡城外，东罗马全军覆没，不得已签城下之盟，与匈人订立和约。

约于公元445年，即匈人撤向内陆地区后不久，布莱达便被阿提拉杀害。在杀害布来达后，阿提拉成为唯一统治匈人的君主，并再度将矛头指向拜占庭帝国。

[编辑] 阿提拉的统治时期，盛极时的匈族帝国

由448年至450年，匈族帝国的版图到了盛极的地步：东起自咸海，西至大西洋海岸；南起自多瑙河，北至波罗的海。这广大区域的一带附属国，都有自己的国王和部落酋长，平日向阿提拉称臣纳贡，战时出兵参战。在阿提拉在政的时期，他甚至派出使节团到其他国家进行外交考察，以此拉拢同盟、强化贸易活动。

[编辑] 对西罗马的侵略和匈族帝国的瓦解

羅馬軍隊在教皇良一世的率領下，打敗阿提拉帶領的匈人。451年，在意大利本土，入侵的匈人被擊退。
罗马军队在教皇良一世的率领下，打败阿提拉带领的匈人。451年，在意大利本土，入侵的匈人被击退。

450年，阿提拉转而进攻西罗马帝国，他带着大约十万名战士渡过了莱茵河。在向前推进的一百英里内，匈人军团洗劫了位于现今法国北部的大部分村庄。罗马将军阿提纽斯组织了一支高卢罗马军团以抵抗正在围困奥尔良城的阿提拉。在查隆丕尼的大决战中，阿提拉终于被打败。尽管匈人的战力没有被完全毁灭，这埸战役被认为是历史上最具决定性意义的重大战役之一，它阻止了整个基督教的覆灭和游牧民族控制欧洲的后果。 453年，阿提拉骤逝，据传是在迎娶日耳曼公主的第二天被发现死于动脉破裂（参见阿提拉）。在失去了强有力的领导人之后，曾经称雄一时的匈族帝国面临着崩溃的边绿。异族的奴隶纷纷起来反抗，不同的派系为了争夺统治权而激战不休。匈族帝国最终由于汪达尔人部落等新敌人的入侵而灭亡，从历史的长河中消逝不见了。

阿提拉死后,他的后裔退至顿河口,分裂成两部,库特利格尔匈牙利,乌特利格尔匈奴(曾经与西突厥可汗达头手围攻克里米亚的刻赤,他们亘相攻击,最后存在至保加尔人到南俄时期。保加尔人被认定与库格利格尔匈奴有关,他们是楚瓦什人的祖先。

[编辑] 影响

另外，有少量的匈人邦族彻底消失在异国，在东、西罗马帝国军队服役的匈族军人不少，大多驻扎在北叙利亚、北非洲与南英格兰地区，有几个匈族部落随西哥特人进入法国与西班牙，有一个匈族部落随东哥特人进入意大利。

匈人在欧洲建立了一个庞大的帝国，但他们的帝国是短命的。他们的帝国很快被瓦解后，甚至整个民族也消失在欧洲的历史和文化当中。匈人促成了欧洲历史的发展，他们把丛林里的日耳曼人推上了历史舞台，并与后者一起摧毁了罗马人的时代。帝国的历史消失后，多元化的封建国家政治开始了，一个几乎延续至今的欧洲国家的主要划分格局形成了。

有人认为今天的匈牙利人就是匈人的后裔，这个问题现在仍是个疑问。

[编辑] 匈人君主

君主名 西文 上任时间 退位时间 其他
乌单 Uldin
约至415年 　
俄塔 Oktar 约415年 约至420年 乌单之子。在位期间与其兄弟卢阿、蒙杜克共同执政
卢阿
又作卢支拉斯		 Rua, Rugu
Rugilas		 约415年 约至433年 俄塔之弟
蒙杜克 Mundzuk 约415年 　 俄塔之弟
布雷达 Bleda 约434年 444年 蒙杜克之子。在位期间与其弟阿提拉共同执政
阿提拉 Attila 约434年 453年 布雷达之弟
爱拉克 Illak 453年 455年 阿提拉长子
邓吉西克 Dengesik 约453年 468年 爱拉克之弟，为东罗马所杀

[编辑] 注释

  1. ^ 有些学者认为匈奴4世纪西迁到了欧洲东部，并入侵欧洲，与匈人有血缘关系或系同一民族。其根据是欧洲历史典籍中记载了匈人灭阿兰国，而《北史》中说："粟特国，......匈奴杀其王而有其国。"而文中对粟特国的位置描述符合《三国志》中对奄蔡的描述，而《后汉书》中说："奄蔡国，改名阿兰聊国 ......"。以此证明中国历史中的匈奴就是欧洲记载的匈人。
取自"http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%8C%88%E4%BA%BA&variant=zh-cn"


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kindrobin23
文
发帖者 桐花万里丹山路，雏凤清与老凤声 时间： 9/01/2008 06:14:00 下午 0 评论

阿提拉

阿提拉

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一幅19世紀創作的素描，不太準確，因為阿提拉的外貌特徵實際上較接近亞洲人，但畫中卻把他繪成歐洲人模樣
一幅19世纪创作的素描，不太准确，因为阿提拉的外貌特征实际上较接近亚洲人，但画中却把他绘成欧洲人模样

阿提拉（西文Attila，406年—453年），古代欧亚大陆匈人最为人所知的领袖和皇帝，史学家称之为"上帝之鞭"，曾多次率领大军入侵东罗马帝国及西罗马帝国，并对两国构成极大的打击。他曾率领军队两次入侵巴尔干半岛，包围君士坦丁堡；亦曾远征至高卢（今法国）的奥尔良地区，最后终于在夏隆之战被停止了向西进军。然而后来他却攻向意大利，并于公元452年把当时西罗马帝国首都拉文纳攻陷，赶走了皇帝瓦伦丁尼安三世，使西罗马帝国名存实亡。

由448年至450年，匈奴帝国在阿提拉的带领下，版图到了盛极的地步：东起自咸海，西至大西洋海岸；南起自多瑙河，北至波罗的海。在这广大区域的一带附属国，都有自己的国王和部落酋长，平日向阿提拉称臣纳贡，战时出兵参战。在阿提拉死后，他的帝国迅速瓦解消失，使他在欧洲历史中更富传奇性。在西欧，他被视为残暴及抢夺的象征，但同时相对地亦有历史记载形为他是一个伟大的皇帝，尤见于古北欧的萨迦文献记载中。

目录

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[编辑] 背景及始源

过去匈人曾被一些学者认定是中国古代文献中记载的游牧民族"匈奴"，但现代学术界对此有很大争议，没有确凿的证据显示入侵欧洲的匈人是匈奴的后代。根据秦汉时等文献记载，当时匈奴活跃于中国东北及中亚地区。其战斗力和机动性非常高，使他们在军事上经常占有优势，尤其在与一些高度文明的民族作战时。后来匈奴于东汉时期屡被打败后，匈奴的一分支北匈奴开始西迁。有人认为他们就是于公元350年左右进入了欧洲的匈人。

阿提拉大约生于公元406年，对于他的童年目前所知甚少，只有假设说他于童年时已是一名良好的战士及领袖，但未有足够证据支持。

在公元418年，年仅12岁的阿提拉，被作为议和条约中的人质之一送到罗马宫廷（时值荷诺里皇帝在位，西罗马帝国首任皇帝）。同时，匈人亦获得了埃提乌斯（后来指挥罗马军队，成功抵抗阿提拉进一步西进的将军）作为人质交换。在罗马的时候，阿提拉在宫廷接受了良好的教育，同时亦从那里学习到罗马人的传统和习俗，还有他们奢华的生活方式。罗马人希望借此使他能把罗马文化在回到匈人领地时传扬开去，以增加罗马对周边民族的影响力。而匈人则希望透过人质交换，能使他们获取更多罗马内部的情报。

阿提拉逗留在罗马时，曾经一度尝试逃跑但失败了。于是他开始把注意力集中在研究罗马内部结构上，并专注研究罗马的内政及外交政策。有时，他甚至会透过暗中观察外交官们举行的外交会议去研究这方面的资料。可以说，阿提拉于当时学习的一切对后来他对匈人的统治，以至于他对罗马的征服战役都有极大的帮助。

[编辑] 分治时代

匈人帝国，从中亚大草原到相当于如今的德国从多瑙河到波罗的海
匈人帝国，从中亚大草原到相当于如今的德国从多瑙河到波罗的海

公元432年，匈人各部落在鲁嘉（Ruga）的领导下完成了统一。公元434年鲁嘉死后，他的两个侄子阿提拉和布莱达（Bleda）便继承了他而统治著匈人。之后他们的势力快速扩展，并开始与当时的罗马皇帝狄奥多西二世相讨归还几个在拜占庭帝国庇护下的叛教部族。于翌年，阿提拉和布来达于马古斯（Margus，现波扎雷瓦茨，塞尔维亚境内城市）会见了拜占庭帝国的代表团，在谈判后并达成一个十分成功的条约:拜占庭承诺归还叛教部族（这些部族曾经恊助拜占庭对抗汪达尔人），并把以往每年对匈人的350罗马镑（约114.5千克黄金）纳贡增加两倍，开放更多与市场予匈人商人互市，并为每个被俘虏的罗马人支付8个金币的赎金。在签署条约后，匈人为着巩固和加强他们的帝国，便在拜占庭的边疆撤向内陆地区。而狄奥多西二世便借此机会，建立了君士坦丁堡的城墙，并沿多瑙河建立防御工事，增强了拜占庭帝国的防御能力。

在接下来的五年，匈人未有再对拜占庭帝国进行大规模进攻，而是转而向波斯帝国进攻。但是，当他们在亚美尼亚遭到波斯还击打败后，阿提拉和布莱达便放弃征服波斯。公元440年，匈人再次把注意力放到拜占庭帝国，并屡次侵扰多瑙河北岸的商人市场。阿提拉和布来达指责拜占庭人未履行他们的条约，更声称马古斯的主教亵渎了在多瑙河北岸的匈人皇家坟墓，要胁要再次进攻拜占庭。阿提拉率领匈人横渡了多瑙河，把伊利里亚地区（今巴尔干半岛西部地区）和色雷斯地区彻底摧毁，其中还包括了省会费米拉孔。匈人一直攻打到马古斯，在此当匈人正与拜占庭人相讨交出主教的条件时，该名主教出逃并放弃了此城。

狄奥多西二世在汪达尔人的领袖盖塞里克占领迦太基以及萨珊王朝皇帝伊斯特格德二世入侵亚美尼亚后，决定撤除多瑙河沿岸的防御工事，使得阿提拉和布莱达更容易进攻巴尔干半岛。公元441年，匈人铁骑先后攻陷了马古斯，费米拉孔（Viminacium），辛吉度努姆（Singidunum，今贝尔格莱德）及塞尔曼（Sirmium）等城市，直至翌年狄奥多西二世从北非调回他的军队，以及发行新金币支付军费，才暂时遏止了阿提拉的攻势。在此之后，他认为已有足够力量对抗阿提拉，便拒绝了匈人的要求。

在要求被拒后，阿提拉和布莱达于公元443年再沿多瑙河沿岸发动大规模进攻，并侵占了军事重镇Ratiara，及围攻了Naissu（Nis，尼斯，今塞尔维亚境内城市）。在此两战中，匈人首次使用了攻城槌及攻城车等重形装备。然后匈人军队再度横扫巴尔干半岛，沿着Nishava河攻陷了谢尔迪卡（今保加利亚首都索菲亚），菲立普波里斯（今保加利亚城市普罗夫迪夫），留莱布尔尬兹（Arcadiopolis，今土耳其境内城市）等大城市，最后攻至拜占庭首都君士坦丁堡。

匈人虽然消灭了城外的罗马守军，但由于欠缺攻城器具，所以面对着君士坦丁堡的巨大城墙只能围困该城。

在长期围困后，狄奥多西二世投降，命皇室使节亚纳多留斯与阿提拉相议和平条约。最终狄奥多西二世与阿提拉达成恊议，签订一条更严厉的条约:拜占庭同意赔偿6，000罗马镑（约1963千克黄金）作为早前毁约的惩罚，而每年纳贡增加三倍至2，100罗马镑（约687千克黄金），至于每个被俘虏的罗马人支付的赎金亦增至12个金币。这些条款虽然为拜占庭帝国带来更沉重的负担，但亦暂时满足了匈人的欲望，使他们再次撤向内陆地区。根据约尔丹尼斯（Nishava）及普利斯库斯（Priscus）的著作记载，约于公元445年，即匈人撤向内陆地区后不久，布莱达便被阿提拉杀害。在杀害布来达后，阿提拉成为唯一统治匈人的君主，并再度将矛头指向拜占庭帝国。

[编辑] 独裁时代

Mór Than的作品：阿提拉的饮宴
Mór Than的作品：阿提拉的饮宴

一连串的人为和自然灾害在阿提拉率领匈人撤走便接连降临在君士坦丁堡：竞技场（Hippodrome）上的大暴动，于公元445年至447年发生的严重瘟疫和饥荒，还有差少许令君士坦丁堡的巨大城墙被彻底摧毁的大地震。于是在公元447年，巩固了自己作为匈人唯一领袖地位的阿提拉便伺机而入，由默西亚（Moesia）行省入侵。于Vit河沿岸，一个哥德骑兵指挥官Arnegisclus带领一支罗马军队进行抵抗但却被阿提拉打败。但罗马军队的损失仍不大，于是阿提拉便绕过了一些主要的军事重镇，横越巴尔干半岛直趋塞莫皮莱獈口（今希腊境内）。但当匈人军队再次到达君士坦丁堡后，面对着迅速重建后的新城墙却显得束手无策。以下是一段对当时匈人的情况的描述：

" ……那些从色雷斯来的蛮族匈人，攻占了数以百计的城镇，使君士坦丁堡内陷入十分危险的境况，人心惶惶，争相逃命。……被杀者多得无法估量。 同时，他们也俘虏了大量的修士和少女。 "

──塞琉古著 《Life of Saint Hypatius》

阿提拉于是提出恢复"和平"的条件："拜占庭人需继续履行纳贡的责任，以及把多瑙河以南5日骑程内的防御工事全部撤除"。 此后恊商断断续续地持续了约三年。其中史学家普利斯库斯（Priscus）在公元448年被作为使者派遣了到阿提拉的营地，期间他著写的《出使匈奴王廷记》，成为了众多描述阿提拉的书籍中，最为准确及详细的版本。此书提供了大量有关阿提拉婚姻，性格，外型，以至匈人皇廷内的情况的资料，其中更不乏对阿提拉冷漠，朴实的性格，与下臣及奉承者的奢华对比的描述：

" ……他为我们准备了豪华的盛宴……用上了十分名贵的银碟用作替我们和他们的使节盛载食物。但相对于我们的奢华餐具，阿提拉只用上了一个木盘。 无论在何处，他都表现得十分温和和简朴:就是连酒杯也是木制的，相对而言我们则使用着各适其适的金制或银制酒杯。 衣着也是非常简朴和整洁:随身携带的佩剑，一对西徐亚式的靴，马辔也没有任何黄金或宝石修饰，与其他的西徐亚人一样。木制地版上只简单地铺着羊毛席子。 "

在这些年间，发生了一件对阿提拉后来征服之路影响深刻，有关"战神之剑"的传说，普利斯库斯对此亦有记载：

" 当一个牧人发现他的牛群里有一头小牝牛跛着脚行走的时 候，……他好奇地循着血迹而行，最后被他发现了那头小牛在吃草时不慎踏到一把剑。他赶忙挖出了那剑，并呈献给阿提拉。阿提拉认定这就是传说中的"战神之剑 "，认为这是上天指定他要统治世界的象征，并会使他在往后的征战中无往不利。 "

──约尔丹尼斯（Jordanes）著 ，哥德的起源和行为，第35章（英语线上阅读）

有学者于考究后证实这个传说源自一些中亚种族对剑的崇拜。

[编辑] 进军西方

阿提拉（右前）率领匈人骑兵入侵意大利
阿提拉（右前）率领匈人骑兵入侵意大利

公元450年，阿提拉开始把注意力集中在西欧，并向西罗马帝国表示愿意与之结盟，共同对付图卢兹的强大西哥特王国。在此之前阿提拉与西罗马帝国，尤其与当时已成为大公的埃提乌斯（幼时被作为人质交换至匈人帝国，与阿提拉交情深厚）维持着一段良好的关系。在当时，匈人军队对巴斯克人和哥德人的节节胜利，使阿提拉在西欧已获得"大元帅"（magister militum）的称号。而汪达尔王成塞瑞克（Geiseric），在惧怕西哥特人的阴影下，对西欧其他各族的外交努力亦对提升阿提拉在西欧的影响力产生帮助。

但是在罗马，当时的皇帝瓦伦丁尼安三世与他的姊姊霍诺利亚（Honoria），就阿提拉提出的建议却持相反意见。霍诺利亚为了逃避与一名宫廷官员的婚约，竟于当年春季主动向阿提拉求婚。阿提拉在考虑过后，接受了她的提议，但却同时提出要以帝国的一半管治权作为嫁妆。瓦伦丁尼安三世得知后，断言拒绝了提议并以"提婚不合法"为由回复了阿提拉，并在摄政太后加拉·普拉西提阿（Galla Placidia）的建议下把霍诺利亚流放。但阿提拉却没有被说服，并派遣了使者到拉文纳要求进一步的解释，准备一旦无法获得满意的答复便挥军攻打西罗马帝国。

同年，在东部拜占庭帝国，执政长达42年的皇帝狄奥多西二世因堕马而丧生，继承其位的马尔西安（Marcian） 停止了向匈人的纳贡，因为在经过长年累月被匈人和其他蛮族蹂躏后，作为支撑帝国经济命脉的巴尔干半岛已经无甚可剩了。同时间在阿提拉辖下统治的法兰克人王国，在国王死后他的两个儿子爆发了争夺王位的冲突，长子及次子[1]分别向阿提拉与埃提乌斯求援。著名历史学家J.B. Bury认为，阿提拉介入此举的最终目的，可能是为了把他的帝国跨越高卢扩展至大西洋海岸。

在派遣到拉文纳使者得不到答复，以及加上法兰克人的求援后，阿提拉决定集结一支庞大军队攻向高卢。他从阿兰人，萨克森人，东哥德人，勃艮第人，赫鲁利人等服从匈人统治的民族中抽调军队，加上自己领导的匈人骑兵，组成一支混合军队攻打西罗马帝国于高卢的领地。公元451年，当阿提拉率领大军抵达罗马帝国比利时行省时，根据约尔丹尼斯的记载已达50万（虽然含有夸大成分）。于4月7日他攻陷了门次城（Metz） ，同时间罗马主将埃提乌斯正于凯尔特人，法兰克人和勃艮第人中抽调军队。

当阿提拉进一步西进后，元老院议员阿维都斯（Avitus）便受命说服西哥特王狄奥多里克（Theodoric），使西哥特人与罗马人结盟，也构成了一支庞大的军队准备与匈人决战。这支军队抢先在阿提拉之前赶到了奥尔良地区[2]，以阻止匈人军队继续前进。终于埃提乌斯于约现今法国的夏隆-香槟泉市（Chalons-en-Champagne）追上了阿提拉的军队，双方爆发了著名的夏隆之战。 惨烈的战役最后以罗马和西哥特联军胜利结束，但西哥特王狄奥多里克在此战中战死，而埃提乌斯因为不能有效控制联军，而被逼将之解散。阿提拉在此战之后，离开了高卢，并说："我还会回来。"把目标指向意大利本土。

[编辑] 侵入意大利及骤逝

拉斐爾作品《伟大的利奥和阿提拉的会面》，画面中：圣彼得和圣保罗在利奥一世头上，后者前去会见阿提拉
拉斐尔作品《伟大的利奥和阿提拉的会面》，画面中：圣彼得和圣保罗在利奥一世头上，后者前去会见阿提拉

在公元452年，当阿提拉重新向西罗马帝国要求对霍诺利亚的婚姻时，匈人的军队同时越过了阿尔卑斯山侵入了罗马帝国的核心—意大利本土。他的军队摧毁了许多城市，并且把意大利东北的军事重镇亚基利（Aquileia）彻底摧毁，使之永久地从地图上消失。皇帝瓦伦丁尼安三世被吓怕，从拉文纳逃到旧都罗马，只剩下埃提乌斯留在北部死守，但所提供的支援却很少。最后匈人军队在意大利北部的波河停止了攻势，阿提拉并接见了由教宗利奥一世，元老院首席议员阿维努斯（Aviennus）及禁卫军统领特里杰久斯（Trigetius）等当时罗马帝国内身分最显赫的人所领导的议和使节团。在一轮相议后，阿提拉决定接受议和条款并撤走，但他也同时警告如果罗马帝国违反对霍诺利亚的婚约时，他会再次入侵罗马。

对于阿提拉突然撤走的原因，历史上有不同的说法。其中最可信的原因指出，阿提拉的军队当时可能受到军粮短缺或瘟疫困扰，或者被拜占庭帝国军队越过多瑙河侵扰后方所逼。而根据普利斯库斯的记载，另一个可能的原因是因为阿提拉害怕会重蹈公元410年，西哥特王亚拉里克一世入侵罗马城后不久暴毙的覆辙。这个由预言家阿基坦所发出的预言，经过画家拉斐尔的画笔与阿加第的凿子美化后，在右图形成了一幅由圣彼得和圣保罗保护著教宗，警告蛮族不得入侵"永恒之城"罗马的画像。

描述教宗利奧一世前去會見阿提拉求和的版畫
描述教宗利奥一世前去会见阿提拉求和的版画

无论如何，阿提拉率领着匈人军队离开了意大利，越过多瑙河回到了自己的皇宫。同时他亦筹划著再次攻打君士坦丁堡，使拜占庭皇帝马尔西安恢复中断了3年的纳贡。就于此时，他却在公元453年初突然逝世。对此，最常见的解释出自普利斯库斯的著作，当中记载道阿提拉在他新婚迎娶一个哥德或勃艮第裔的少女伊笛可（Hildico）的婚宴后，在睡梦中鼻腔血管破裂，血液倒流引致窒息而死。这血管破裂可能是由于阿提拉饮酒过多而引起。一个曾经狂言"被我的马践踏过的地方，都不会再长出新草"的征服者，就是这样怪异和反高潮地逝去了。

他的侍从和战士在发现他的死讯后，以剪下自己一撮头发，和以剑在脸上刺伤口来哀悼他。约尔丹尼斯也这样地记载当时的情况:"最伟大的战士是不应以女 性的哀号和泪水，而是以战士的鲜血来哀悼的"。在葬礼上，匈人骑士们排著队形，围绕着存放阿提拉遗体的大型丝绸天幕转圈，向这位他们最伟大的领袖唱着丧 歌。仪式完结后，匈人们便依照传统，在阿提拉下葬的坟前饮酒作乐。 他的遗体分别被放在三个由金，银，铁所制成的棺木中，连同战利品，和那些负责发挖坟墓后被杀的俘虏一起埋葬。 在他死后，他的故事被演化作不同的传奇。在《尼伯龙根之歌》（德国中世纪长篇史诗）中的Etzel和《佛尔颂萨迦》（冰岛史诗）中Atli都是由阿提拉的生平所演化的人物。

关于阿提拉逝世的传说和故事， 还有另一个版本。约在阿提拉死后八十年，一名罗马的编年史家（Count Marcellinus）的著作中这样地记载着: "Attila rex Hunnorum Europae orbator provinciae noctu mulieris manu cultroque confoditur." （阿提拉， 匈人的皇帝和欧罗巴的毁灭者，被他的妻子用刀杀害。）[3] 在尼白龙根之歌和佛尔颂萨迦中都描述"Atli"是被其妻Gudrun杀害。[4]但多数学者都不接受这个解释，而选择了相信在阿提拉时代生活的普利斯库斯的记载。近年，却有新的论据出现反驳普利斯库斯的记载。[5] 根据详细的文献学分析， Babcock提出了由普利斯库斯的著作中记载的自然死亡论， 是由受到当时拜占庭皇帝马尔西安政治压力的传教士篡改的，所以对可信性存疑。

阿提拉死后，他的指定继承人艾拉克（Ellac）、丹克玆克（Dengizich）以及艾内克（Ernakh）就帝国继承权互相攻伐，使匈人帝国四分五裂，如约尔丹尼斯所记载—"就好像那些好战的国王与他们的人民，应该被他们像家庭财产般摊分。" 于是在后来，在格庇德的国王艾达里克王领导下的反匈人联盟，在尼达欧之战（Battle of Nedao）击败了匈人，杀死了艾拉克，使匈人帝国完全瓦解并开始从欧洲历史中淡出。

在中世纪的各国文化中，统治者经常会吹嘘自己的祖先是某名最强大的征服者。 阿提拉，作为一个从亚洲来临的蛮族征服者，在此原因下他的事迹被传奇化地保存下来，同时他的血脉也一直流传下来。其中保加利亚的沙皇是当时被视为最可信为阿提拉后代的君主。现时，一些家族系谱专家正试图重新排列阿提拉家族的图谱。当中有一些专家尝试把阿提拉的血脉图谱连接至查理曼大帝，但至今仍未能成功。详见英语维基百科从阿提拉到查理曼条目。

[编辑] 外貌，特征

阿提拉诗人艾达的插图
阿提拉
诗人艾达的插图

关于阿提拉的外貌，特征和性格，主要的资料都出自普利斯库斯的《出使匈奴王廷记》，此书是于他在公元448年与拜占庭廷臣 马古西斯（Maximin）领导的使节团出使匈人帝国时所著的。在当中记载了匈人在草原上撘建的营帐有如大城市的规模，以及以木墙屏障的防御设施等情况。而在书中他用以下方的文字描述了阿提拉的外貌:"身材矮小，胸膛广阔，头大眼小，胡须稀疏而呈灰色，鼻子扁平，体形长等不太均称。这些都是匈人常见的特征之一。"

阿提拉的外形与亚洲东部黄种人的特征颇为相似，甚至与鞑靼人的特征如出一辙。他亦有着与中亚突厥语族相似的特征，所以他的确保有了典型亚洲东部的外貌特点，而没有欧洲人的外形特征。

阿提拉在西方历史上通常有"上帝之鞭"之名，而他的名字也成为了残暴和野蛮的同义词。这也许也与他的外貌和特征有关连。在平常的描述中，那些草原上的新征服者，如成吉思汗，帖木尔等，都被视为残暴，好杀戮和好战的化身。但在现实中，他的性格的也许是更加复杂的。阿提拉时代的匈奴文化，有一段时间与罗马文明有很大的交流，主要是透过日耳曼比利时行省的边境传入。而当公元448年使节团出使匈人时，普利斯库斯也能够辨认匈人间常用的两种主要语言—匈奴语和哥德语，也有些匈人懂得拉丁语及希腊语。普利斯库斯也曾与一个拜占庭俘虏会面，而他显然已经适应了匈人的生活模式，更不想回国。当时的拜占庭历史学家，在记载匈人谦卑和朴素的性格更是毫不含糊的表示倾慕。

有关阿提拉的名字来源，应该是在哥特语中 "小父亲"（前缀"atta" "父亲" 加上后缀"-la"） 演变而来的。这也可能是从阿尔泰语系而来 （"Atatürk and Alma-Ata"，今日于阿尔泰语作"Almaty"，应该由前缀"atta" "父亲"加上"il""土地"而组成）。"Atil"在阿尔泰语中，也是今日伏尔加河的名称，所以也有以此河命名的可能。

[编辑] 文学上的记载，与文化上的影响

電影《匈奴王傳奇（Attila）》海報
电影《匈奴王传奇（Attila）》海报

有关阿提拉的生活历史背景的记载，在人们心目中的形象起了大作用：在日渐衰落的西罗马帝国，他与埃提乌斯（当时他有"最后的罗马人"之誉）之间的冲突以及对匈人文化的陌生，使他被认为是凶猛野蛮和文明社会的公敌，直至今时今日，大量电影与艺术品对他的描绘也是如此。

在但丁的《神曲》中，他在第七层炼狱出现，浸没在一条沸滚的血河中，被称为"世界之鞭"。但丁也谴责了他对佛罗伦斯的破坏，但这却是但丁一个严重的错误，因为他把阿提拉与东哥德人征服者多迪拉（Totila）混淆了。

在古日耳曼的史诗中，对阿提拉有着微妙的描述: 他是一个高尚和慷慨的盟友，无论是在尼伯龙根之歌中的Etzel，或是在《佛尔颂萨迦》或《爱达》（北欧神话）中的Atli都是如此。现今在一些国家中，在有关阿提拉历史的记载上均是褒多于贬的。 在匈牙利及土耳其，阿提拉与他最后一名妻子伊笛可的名字仍然十分流行且常被使用。

[编辑] 注释

  1. ^ 此人可能是法兰克墨洛温王朝的始祖墨洛维。
  2. ^ 后来的研究指出在罗马和西哥特联军赶到前，奥尔良城已经被匈人攻占；但于约尔丹尼斯的著作中却无此记载。
  3. ^ （Marcellinus Comes）著 -《Chronicon》 （英语线上阅读）， 在《Hector Munro Chadwick: The Heroic Age》中被引用。 （伦敦，剑桥大学出版社，1926年，p.39 n.1.
  4. ^ 佛尔颂萨迦中，第三十九章 "The End of Atli and his Kin and Folk"
  5. ^ Michael A. Babcock 著《The Night Attila Died: Solving the Murder of Attila the Hun》，ISBN 0425202720）。

[编辑] 中文版参考资料

  1. 单于已在金山西——闲话匈人与匈奴
  2. 匈奴帝国
  3. 书坑村—匈奴与我.时代的主角
  4. 《罗马帝国衰亡史》第三卷，爱德华‧吉本（Edward Gibbon）著，席代岳译，ISBN 957-08-2773-4
  5. 《开创时代政治巨人系列—阿提拉》，史提芬‧贝拉‧瓦尔第著，周灵芝译，ISBN 957-9015-34-1

[编辑] 其他参考资料

古代文字引用记载：

  • 普利斯库斯（Priscus）: 《拜占庭史》（Byzantine History），J.B. Bury译本线上阅读
  • 约尔丹尼斯（Jordanes）: 《哥德的起源和行为》（The Origin and Deeds of the Goths）

其他英文书籍：

  • Babcock, Michael A.: 《The Night Attila Died: Solving the Murder of Attila the Hun》（Berkley Publishing Group, ISBN 0425202720）
  • Blockley, R.C.: 《The Fragmentary Classicising Historians of the Later Roman Empire, vol. II》 （ISBN 0905205154） （集合了史学家 奥林匹奥德鲁斯（Olympiodorus）与普利斯库斯的著作的原文节录。）
  • C.D. Gordon: 《The Age of Attila: Fifth-century Byzantium and the Barbarians》 （Ann Arbor, University of Michigan Press, 1960）.
  • J. Otto Maenchen-Helfen （ed. Max Knight）: 《The World of the Huns: Studies in Their History and Culture》 （Berkeley, University of California Press, 1973）
  • Man, John: 《Attila: A Barbarian King and the Fall of Rome》 （Bantam Press, 2005, ISBN 0593052919）
  • E. A. Thompson :《A History of Attila and the Huns》 （London, Oxford University Press, 1948）

其他资料：

  • 《世纪帝国2：征服者入侵》（电脑游戏）有关阿提拉的战争关卡过渡介绍


前任：
父蒙杜克		 匈人君主
434年－445年		 继任：
子爱拉克


--
kindrobin23
文
发帖者 桐花万里丹山路，雏凤清与老凤声 时间： 9/01/2008 06:11:00 下午 0 评论

0.999…


0.999…

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在完备的实数系中，循环小数0.999...，也可写成0.\bar{9}、0.\dot{9}或\ 0.(9)，表示一个等于1的实数。也就是说，"0.999..."所表示的数与"1"相同。长期以来，该等式被职业数学家所接受，并在教科书中讲授。目前这个等式已经有各种各样的证明，它们各有不同的严密性、背景假设都蕴含实数的阿基米德性（En:Archimedean field）、历史文脉、以及目标受众。

这类展开式的非唯一性不仅限于十进制系统。相同的现象也出现在其它的整数进位制中，数学家们也列举出了一些1在非整数进位制中的写法。这种现象也不是仅仅限于1的：对于每一个非零的有限小数，都存在另一种含有无穷多个9的写法。由于简便的原因，我们几乎肯定使用有限小数的写法，这样就更加使人们误以为没有其它写法了。实际上，一旦我们允许使用无限小数，那么在所有的进位制中都有无穷多种替代的写法。例如，28.3287与28.3286999...、28.3287000...，以及许多其它的写法，都表示相同的数。这些各种各样的等式被用来更好地理解分数的小数展开式的规律，以及一个简单分形图形──康托尔集合的结构。它们也出现在一个对整个实数的无穷集合的经典研究之中。

在过去数十年里，数学教育的研究人员研究了学生们 对该等式的接受程度。许多学生至少在一开始对该等式表示怀疑或无法接受。阅读了教科书和以下的推理，并经过了教师教导后，大部分学生便被迫承认两者是相等 的。不过，他们往往仍然感到十分别扭，而提供进一步的理由。学生们否定或肯定该等式的原因，通常是基于一些对实数的常见误解；例如，每一个实数都有一个唯 一的小数展开式，例如非零的无穷小应该存在，或者0.999...的展开式最终要停止。我们也可以构造出使该等式不成立的记数系统，但只能在初等数学中的标准实数系统之外进行。确实是这样，有些记数系统含有"刚刚小于1"的数；这些数一般与0.999...无关（因为与之相关的在理论上和实践上都没有什么用途），但在数学分析中引起了相当大的兴趣。

目录

[隐藏]

[编辑] 简介

0.999...是一个小数系统中的数，一些最简单的0.999... = 1的证明都依赖于这个系统方便的算术性质。大部分的小数算术──加法、减法、乘法、除法，以及大小的比较，操作方法都与整数差不多。与整数一样，任何两个有限小数只要数字不同，那么数值也一定不同。特别地，任何一个形为0.99...9的数，其中只有有限个9，都是严格小于1的。

误解0.999...中的"..."（省略号）的意义，是对0.999... = 1的误解的其中一个原因。这里省略号的用法与日常语言和0.99...9中的用法是不同的，0.99...9中的省略号意味着有限的部分被省略掉了。但是，当用来表示一个循环小数的时候，"..."则意味着无限的部分被省略掉了，这只能用极限的数学概念来阐释。这样，"0.999..."所表示的实数，是收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，...）的极限。"0.999..."是一个数列的极限，从这方面讲，对于0.999...=1这个等式就很直观了。

与整数和有限小数的情况不一样，一个数也可以用许多种其它的方法来表示。例如，如果使用分数，1⁄3 = 2⁄6。但是，一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示。如果有两种方法，那么一种一定含有无穷多个9，而另外一种则一定从某一位开始就全是零。

0.999... = 1有许多证明，它们各有不同的严密性。一个严密的证明可以简单地说明如下。考虑到两个实数是相等的，当且仅当它们的差等于零。大部分人都同意，0.999...与1的差，就算存在也是非常的小（趋近零）。考虑到以上的收敛数列，我们可以证明这个差一定是小于任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德原理），唯一具有这个性质的实数是零。由于差是零，可知1和0.999...是相等的。用相同的理由，也可以解释为什么0.333... = 1⁄3，0.111... = 1⁄9，等等。

[编辑] 证明

[编辑] 推想

0.999...是否为1？若使用减法直式计算（小数点后只列出五位，五位后省略）：
　　1.00000
─　0.99999
──────
　　0.00000

结果为0.000...，也就是0.0无限循环。因为小数点后五位之后还会一直填上0，始终无法找到最后一位来填上1。 1.(0) - 0.(9) = 0.(0)，故1 = 0.(9)。

[编辑] 代数

[编辑] 分数

无限小数是有限小数的一个必要的延伸，其中一个原因是用来表示分数。用长除法，一个像1⁄3的简单整数除法便变成了一个循环小数，0.333...，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个0.999... = 1的证明。用3乘以0.333...中的每一个3，便得到9，所以3 × 0.333...等于0.999...。而3 × 1⁄3等于1，所以0.999... = 1。[1]

这个证明的另外一种形式，是用1/9 = 0.111...乘以9。

\begin{align} 0.333\dots &{} = \frac{1}{3} \\ 3 \times 0.333\dots &{} = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\ 0.999\dots &{} = 1 \end{align}

\begin{align} 0.111\dots & {} = \frac{1}{9} \\ 9 \times 0.111\dots & {} = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\ 0.999\dots & {} = 1 \end{align}

一个更加早期的形式，是基于以下的方程：

1 = \frac{9}{9} = 9 \times \frac{1}{9} = 9 \times 0.111\dots = 0.999\dots

由于两个方程都是正确的，因此根据相等关系的传递性质，0.999...一定等于1。类似地，3/3 = 1，且3/3 = 0.999...。所以，0.999...一定等于1。

[编辑] 位数操作

另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10 × 0.999...等于9.999...，它比原来的数大9。

考虑从9.999...减去0.999...。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9 - 9，也就是0。两者小数点后的数目均为0.999...故可互消，结果为小数点后为零。最后一个步骤用到了代数。设0.999... = c，则10c − c = 9，也就是9c = 9。等式两端除以9，便得证：c = 1。[1]用一系列方程来表示，就是

\begin{align} c &= 0.999\ldots \\ 10 c &= 9.999\ldots \\ 10 c - c &= 9.999\ldots - 0.999\ldots \\ 9 c &= 9 \\ c &= 1 \\ 0.999\ldots &= 1 \end{align}

以上两个证明中的位数操作的正确性，并不需要盲目相信，也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的。这个关系，可以用几个等价的方法来表示，已经规定了0.999...和1.000...都表示相同的数。

[编辑] 实数分析

由于0.999...的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实数分析的标准定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999...的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：

b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots

小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以500中的5是50中的5的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。

[编辑] 无穷级数和数列

更多资料：小数表示法

也许小数展开式最常见的发展，是把它们定义为无穷级数的和。一般地：

b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .

对于0.999...来说，我们可以使用等比级数的有力的收敛定理：[2]

如果 | r | < 1，则ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.

由于0.999...是公比为r=\textstyle\frac{1}{10}的等比级数的和，应用以上定理，很快就可以得出证明了：

0.999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\,

这个证明（实际上是10等于9.999...）早在1770年就在瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的作品《Elements of Algebra》（《代数的要素》）中出现了。[3]

四进制的小数数列（0.3，0.33，0.333，...…）收敛于1。
四进制的小数数列（0.3，0.33，0.333，...…）收敛于1。

等比级数的和本身，是一个比欧拉还要早的结果。一个典型的18世纪的推导用到了一项一项的操作，类似于以上的代数证明。直到1811年，Bonnycastle的教科书《An Introduction to Algebra》（《代数的介绍》）依然使用这种等比级数的方法来证明对0.999...使用的策略是正当的。[4]在19世纪，这种随随便便的求和方法遭到了反对，这样便导致了现在仍然占有支配地位的定义：一个级数的和定义为数列的部分和的极限。该定理的一个对应的证明，明确地把这个数列计算出来了；这可以在任何一本以证明为基础的微积分或数学分析的教科书中找到。[5]

对于数列（x0，x1，x2，...）来说，如果当n增大时，距离|x − xn|变得任意地小，那么这个数列就具有极限x。0.999... = 1的表述，可以用极限的概念来阐释和证明：

0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,[6]

最后一个步骤— lim 1/10n = 0 —通常由实数的阿基米德原理来 证实。这个以极限为基础的对0.999...的看法，有时会用比较引人注意但不太精确的话语来表达。例如，在1846年的美国教科书《大学算 术》（《The University Arithmetic》）中有这么一句："0.999+，到无穷远处等于1，这是因为每加上一个9，都会使它的值更加接近于1 "（.999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1）；在1895年的美国教科书《Arithmetic for Schools》（《学校算术》）中也有："...如果有非常多的9，那么1和0.99999...的差就小得难以想像了"（"...when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999... becomes inconceivably small"）。[7]这种启发式的教学法，常常被学生们误解为0.999...本身就小于1。

[编辑] 区间套和最小上界

更多资料：区间套
区间套：在三进制中，1 = 1.000... = 0.222...
区间套：在三进制中，1 = 1.000... = 0.222...

以上的级数定义，是一个用小数展开式来定义实数的简单的方法。还有一种补充的方法，是相反的过程：对于一个给定的实数，定义一个小数展开式。

如果知道一个实数x位于闭区间[0, 10]内（也就是说，这个实数大于或等于0，而小于或等于10），我们就可以想象把这个区间分成十个部分，只在终点处相重迭：[0, 1]、[1, 2]、[2, 3]，依此类推，直到[9, 10]。实数x一定是属于这十个区间的一个；如果它属于[2, 3]，我们就把数字"2"记录下来，并把这个区间再细分成十个子区间：[2, 2.1]、[2.1, 2.2]、...、[2.8, 2.9]、[2.9, 3]。把这个过程一直继续下去，我们便得到了一个无穷的区间套序列，由无穷个数字b0、b1、b2、b3、...来标示，并记

x = b0.b1b2b3...

在这种形式中，1 = 1.000...而且1 = 0.999...的事实，反映了1既位于[0, 1]，又位于[1, 2]，所以我们在寻找它的数字时，可以选择任意一个子区间。为了保证这种记法没有滥用"="号，我们需要一种办法来为每一个小数重新构造一个唯一的实数。 这可以用极限来实现，但是还有其它的方法。[8]

一个简单的选择，是区间套定理，它保证只要给出了一个长度趋近于零的闭区间套序列，那么这些区间套的交集就正好是一个实数。这样，b0.b1b2b3...便定义为包含在所有的区间[b0, b0 + 1]、[b0.b1, b0.b1 + 0.1]，依此类推的唯一的实数。而0.999...就是位于所有的区间[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.99...9, 1]（对于任意有限个9）的唯一的实数。由于1是所有这些区间的公共元素，因此0.999… = 1。[9]

区间套定理通常是建立在一个更加基本的实数特征之上的：最小上界的存在。直接利用这些事物，我们可以把b0.b1b2b3...定义为集合{b0，b0.b1，b0.b1b2，...}的最小上界。.[10]然后就可以证明，这种定义（或区间套的定义）与划分的过程是一致的，又一次证明了0.999... = 1。汤姆·阿波斯托尔得出结论：

一个实数可以有两种不同的小数表示法，仅仅是两个不同的实数集合可以有相同的最小上界的一个反映。 （The fact that a real number might have two different decimal representations is merely a reflection of the fact that two different sets of real numbers can have the same supremum.）[11]

[编辑] 实数

更多资料：实数的结构

有些方法用公理集合论明确把实数定义为一定的建立在有理数上的结构。自然数──0、1、2、3，依此类推──从零开始并继续增加，这样每一个自然数都有一个后继者。我们可以把自然数的概念延伸到负数，得出所有的整数，并可以进一步延伸到比例，得出所有的有理数。这些记数系统伴随着加法、减法、乘法和除法的算术。更加微妙地，它们还包括排序，这样一个数就可以与另一个进行比较，并发现是大于、小于，还是等于。

从有理数到实数的一步，是一个很大的延伸。至少有两种常见的方法来达到这一步，它们都在1872年出版：戴德金分割，以及柯西序列。 直接用到这些结构的0.999... = 1的证明，现在已经无法在实数分析的教科书中找到了；最近几个年代的趋势，是使用公理化的分析。即使提供了这样的一个结构，它也通常被用来证明实数的公 理，从而为以上的证明提供证据。然而，有些作者表达了从一个结构开始才是逻辑上更恰当的想法，这样得出的证明就更加完备了。[12]

[编辑] 戴德金分割

更多资料：戴德金分割

在戴德金分割的方法中，每一个实数x定义为所有小于x的有理数所组成的无穷集合。[13]特别地，实数1就是所有小于1的有理数的集合。[14]每一个正的小数展开式很容易决定了一个戴德金分割：小于某个展开阶段的有理数的集合。所以实数0.999...是有理数r的集合，使得r < 0，或r < 0.9，或r < 0.99，或r小于其它具有\begin{align}1-(\tfrac{1}{10})^n\end{align}形式的数。[15]0.999...的每一个元素都小于1，因此它是实数1的一个元素。反过来，1的一个元素是有理数 \begin{align}\tfrac{a}{b}<1\end{align}，也就是\begin{align}\tfrac{a}{b}<1-(\tfrac{1}{10})^b\end{align}。由于0.999...和1包含相同的有理数，因此它们是相同的集合：0.999... = 1。

把实数定义为戴德金分割，首先由理查德·戴德金在1872年出版。[16] 以上把每一个小数展开式分配一个实数的方法，应归于弗雷德·里奇曼在《Mathematics Magazine》（《数学杂志》）上发表的一篇名为"Is 0.999 ... = 1?"（"0.999... = 1吗？"）的演讲稿，主要是为大学的数学教师，尤其是初级/高级程度，以及他们的学生而作。[17]里奇曼注意到，在有理数的任何一个稠密子集中取戴德金分割，都得到相同的结果；特别地，他用到了分数，这样便更快得出证明了："所以，我们看到，在实数的传统定义中，方程0.9* = 1在一开始就建立了。"[18]把这个步骤再作进一步的修改，便得到了另外一个结构，里奇曼对这个结构更感兴趣；参见以下的"其它记数系统"。

[编辑] 柯西序列

更多资料：柯西序列

另外一种构造实数的方法，间接地用到了有理数的排序。首先，x和y之间的距离定义为绝对值|x − y|，其中绝对值|z|定义为z和−z的最大值，因此总是非负的。这样实数便被定义为关于这个距离的具有柯西序列性质的有理数序列。也就是说，每一个实数都是一个柯西收敛的数列（x0，x1，x2，...)。这是一个从自然数到有理数的映射，使得对于任何正有理数δ，总存在一个N，使得对于所有的m、n > N，都有|xm − xn| ≤ δ。（两项之间的距离变得比任何正的有理数都要小。）[19]

如果（xn）和（yn）是两个柯西数列，那么如果数列（xn − yn）有极限0，这两个数列便定义为相等的。把小数b0.b1b2b3...拆开来，便得到了一个有理数序列，它是柯西序列；这个序列对应的实数被定义为这个小数的值。[20]所以，在这种形式中，我们的任务就是要证明，有理数序列

\left(1 - 0, 1 - {9 \over 10}, 1 - {99 \over 100}, \dots\right) = \left(1, {1 \over 10}, {1 \over 100}, \dots \right)

有极限0。对于n = 0、1、2、...，考虑数列的第n项，我们需要证明

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{10^n} = 0.

这个极限是大家都明白的；[21]一个可能的证明，是在数列的极限的定义中，对于ε = a/b > 0，我们可以取N = b。所以，这又一次证明了0.999... = 1。

把实数定义为柯西序列，首先由爱德华·海涅和格奥尔格·康托尔独立发表，也是在1872年。[16]以 上的小数展开式的方法，包括0.999... = 1的证明，则主要是得自Griffiths和Hilton在1970年的作品《A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation》（《一本经典数学的综合教科书：一个当代的阐释》）。这本书是特别为了以当代的眼光回顾一些熟悉的数学概念而作的。[22]

[编辑] 推广

0.999... = 1的证明，立刻可以进行两种推广。首先，对于每一个非零的有限小数（也就是说，从某一位开始全是零），都存在另外一个与其相等的数，从某一位开始全是9。 例如，0.24999...等于0.25，就像我们考虑的特殊情况。这些数正好是相同的分数，而且是稠密的。[23]

其次，一个类似的定理可以应用到任何一个底数或进位制。例如，在二进制中，0.111...等于1；而在三进制中，0.222...等于1。实数分析的教科书很有可能略过0.999...的特殊情况，而从一开始就介绍这两种推广的一种或两种。[24]

1的其它表示法也出现在非整数进位制中。例如，在黄金分割比进位制中，两个标准的表示法就是1.000...和0.101010...，此外还有无穷多种含有相邻的1的表示法。一般地，对于几乎所有的1和2之间的q，在q进制中都有无穷多个1的展开式。而另一方面，依然存在无穷多个q（包括所有大于1的实数），使得在q进制中只有一种1的展开式，除了显然的1.000...。这个结果首先由保罗·埃尔德什、Miklos Horváth和István Joó在大约1990年获得。1998年，Vilmos Komornik和Paola Loreti确定了具有这种性质的最小的进位制──Komornik-Loreti常数q = 1.787231650...。在这个进位制中，1 = 0.11010011001011010010110011010011...；其数字由图厄-摩斯数列给出，不是循环小数。[25]

一个更加深远的推广，提到了最一般的进位制。在这些进位制中，一个数也有多种表示法，在某种意义上来说难度甚至更大。例如：[26]

Marko Petkovšek证明了这种歧义是使用进位制的必然结果：对于任何一个把所有实数命名的系统，总有无穷多个实数有多种表示法，而这些实数所组成的集合又是稠密的。他把这个证明称为"一个指导性的基本点集拓扑学的练习"：它包含了把进位制的集合视为斯通空间，并注意到它们的实数表示法可以由连续函数给出。[27]

[编辑] 应用

0.999...的其中一个应用，出现在基本数论中。1802年，H·古得温出版了一份观察资料，描述了分母为一定的素数的分数的小数展开式中9的出现。例子包括：

  • 1/7 = 0.142857142857...，而142 + 857 = 999。
  • 1/73 = 0.0136986301369863...，而0136 + 9863 = 9999。

E·米迪在1836年证明了关于这类分数的一个一般的结果，现在称为米迪定理。当初出版时没有写得很清楚，我们也不知道他的证明是不是直接提到了0.999...，但至少有一个W·G·莱维特的现代证明是这样的。如果我们可以证明，一个具有形式0.b1b2b3...的小数是正整数，那么它就一定是0.999...，这也就是定理中9的来源。[28]在这个方向上继续做研究，就可以得出诸如最大公因子、同余、费马素数、群元素的目，以及二次互反律等概念。[29]

康托尔集合中1/4、2/3，和1的位置。
康托尔集合中1/4、2/3，和1的位置。

回到实数分析的主题上，三进制中的类似等式0.222... = 1在刻划康托尔集合──一个最简单的碎形的特征中，扮演了一个十分重要的角色：

  • 一个单位区间中的点位于康托尔集合内，当且仅当它在三进制中可以只用数字0和2来表示。

小数中的第n位反映了在第n个阶段时点的位置。例如，点²⁄3可以如常地表示为0.2或0.2000...，这是因为它位于第一个删除部分的右面，以及以后所有的删除部分的左面。点1⁄3则不表示为0.1，而表示为0.0222...，这是因为它位于第一个删除部分的左面，以及以后所有的删除部分的右面。[30]

重复的9还出现在另外一个康托尔的研究成果中。在应用他在1891年发表的对角线论证法来证明单位区间的不可数性时，必须要考虑到这种因素。这种证明需要根据小数展开式来断言两个实数是不同的，所以我们需要避免诸如0.2和0.1999...之类的数对。一个简单的方法把所有的实数表示为无限小数；相反的方法便排除了无穷多个9的可能性。[31]一个可能更加接近于康托尔原先的证明的变体，实际上使用了二进制，把三进制展开式转换为二进制展开式，我们也可以证明康托尔集合的不可数性。[32]

[编辑] 教育中遇到的怀疑

学习数学的学生往往拒绝接受0.999... = 1的等式，其原因有很多，从根本不相同的外观，到对极限概念的深度疑虑，乃至对无穷小的本性的异议。有不少贡献因素，造成了这种混淆；

  • 学生们常常"坚信一个数能用一种且只能用一种小数的方法来表示"。看到两个明显不同的小数，表示的却是相同的实数，这似乎是一个悖论，而表面上熟悉的数1，更使这个悖论加深。[33]
  • 有些学生把"0.999..."（或类似的记法）理解为很长但有限的一串9，也许长度是可变的、未特别指出的。如果他们接受了有无穷多个9的事实，他们仍然可能认为"在无穷远处""有最后的一个9"。[34]
  • 直觉和模棱两可的教导，都让学生觉得数列的极限是一个无限的过程，而不是一个确定的值，因为一个数列不一定就有极限。如果他们明白了数列和它的极限的差别，他们就有可能把"0.999..."理解为数列，而不是它的极限。[35]
  • 有些学生把0.999...视为一个定值，与1的差是无穷小，但不是零。
  • 有些学生相信收敛级数的值最多只是一个估计，也就是0.\bar{9} \approx 1。

这些想法在标准实数系统（指具有完备性的）中都是错误的，但在其它记数系统中则有可能是正确的（要求相应数系不具备阿基米德性，因为阿基米德性要求数系中没有非零无穷小[36]）。这些系统要么是为一般的数学用途而发明，要么就是作为指导性的反例，使人们更好地理解0.999...。

许多这些解释都是大卫·塔尔教 授发现的，他研究了造成学生们误解的教导方法的特征。他访问了他的学生以决定为什么大多数人在一开始都拒绝接受该等式，发现"学生们仍然继续把 0.999...视为一个越来越接近1的数列，而不是一个定值，因为'你没有指定它有多少位'或'在所有小于1的小数中，它是最大的数。'"[37]

在所有初等的证明中，用0.333... = 1⁄3乘以3表面上是使学生们迫不得已接受0.999... = 1的一个成功的策略。但是，面对着对第一个等式的相信以及对第二个等式的怀疑，有些学生要么就开始怀疑第一个等式，要么干脆就感到灰心丧气了。[38]更加复杂的方法，也不是十分有效的；有些学生完全可以应用严格的定义，但当他们被一个高等数学的结果，包括0.999...所震惊时，依然退回到直觉的形象上去了。例如，有一个学习实数分析的学生，能够用最小上界的定义来证明0.333... = 1⁄3，但仍然坚称0.999... < 1，基于他早前对长除法的理解。[39]其他学生也能够证明1⁄3 = 0.333...，但是，面对着以上的分数证明，仍然坚称"逻辑"能代替数学运算。

约瑟·马祖尔讲 了一个故事：有一个十分聪明的学习微积分的学生，他"对我在课堂上讲的几乎所有内容都要提出一番异议，但对他的计算器深信不疑"。他相信，九个数字就是学 习数学所需要的一切，包括计算23的平方根。这位学生对9.99... = 10的极限证法感到别扭，称其为"一个难以想象的无限增长过程"。[40]

作为埃德·杜宾斯基的数学学习的"APOS理论" 的一部分，杜宾斯基和他的合作者在2005年提出：任何一个学生，只要把0.999...设想为一个有限的、不确定的数串，与1的差是无穷小，那么他就" 还没有对无限小数形成一个完整的过程概念"。其他对0.999...有了完整的过程概念的学生，仍不一定能把这个过程"概括"成一个"对象概念"，就像他 们对1的对象概念那样，所以仍然觉得0.999...和1是不一致的。杜宾斯基还把这种概括的能力与把1⁄3视为一个独立的数，以及与把实数的集合视为一个整体联系起来。[41]

[编辑] 在大众文化中

随着互联网的崛起，关于0.999...的讨论已经冲出了教室，并走向了新闻组和信息版，包括那些名义上几乎与数学无关的信息版。在新闻组sci.math中，辩论0.999...是一项"受欢迎的运动"，也是常见问答集之一。[42]常见问答集涵盖了1⁄3、乘以10、还有极限的证明，也间接地提到了柯西序列。

一个2003年版的报纸专栏The Straight Dope通过1⁄3和极限讨论了0.999...，并谈到了误解：

我们当中的低级灵长类动物仍然在抗拒，说：0.999...其实不是表示一个数，而是表示一个过程。我们必须把那个过 程停止下来，来寻找那个数，这样0.999... = 1的等式便土崩瓦解了。真是一派胡言。（The lower primate in us still resists, saying: .999~ doesn't really represent a number, then, but a process. To find a number we have to halt the process, at which point the .999~ = 1 thing falls apart. Nonsense.）[43]

The Straight Dope在自己的信息版引用了另外一个不明的信息版中的讨论，那个信息版"大部分是关于视频游戏的"。0.999...的问题在暴雪娱乐的Battle.net论坛的头七年也是一个非常受欢迎的话题，以致于该公司在2004年的愚人节不得不发布了一则"新闻"，声明0.999...就是1：

我们对永远停止对这件事的讨论感到十分激动。我们亲眼目睹了对0.999...是否等于1的痛心和关心，并对以下的证明最终为我们的顾客解决了问题 感到十分自豪。 （We are very excited to close the book on this subject once and for all. We've witnessed the heartache and concern over whether .999~ does or does not equal 1, and we're proud that the following proof finally and conclusively addresses the issue for our customers.）[44]

然后便提供了两个证明，一个是极限的证明，另一个是乘以10的证明。

[编辑] 其它记数系统

虽然实数形成了一个非常有用的记数系统，把"0.999..."解释为一个实数的决定毕竟还是一个约定，蒂莫西·高尔斯在《Mathematics: A Very Short Introduction》（《数学：一个非常简短的介绍》）中提到，0.999... = 1的等式也是一个约定：

然而，这个约定决不是随意取的，因为如果不采用这种记数系统，我们就被迫得要么发明一些新奇的东西，要么抛弃大家熟悉的算术规则。 （However, it is by no means an arbitrary convention, because not adopting it forces one either to invent strange new objects or to abandon some of the familiar rules of arithmetic.）[45]

我们可以用不同的规则或新的事物来定义其它记数系统；在某些记数系统中，以上的证明便需要重新解释。我们就有可能发现，在某一个给定的记数系统 中，0.999...和1并不一定就是相等的。然而，许多记数系统都是实数系统的延伸，而不是独立的替代物，所以0.999... = 1仍然成立。就算是在这类记数系统中，我们依然值得去检查其它的记数系统，不仅仅为了知道0.999...是怎样表现的（如果"0.999..."既有意 义又不含糊），也为了知道相关现象的表现。如果这种现象与实数系统中的现象不一致的话，那么至少一个建立在这个系统中的假设便一定不成立了。

[编辑] 无穷小

主条目：无穷小

0.999... = 1的证明依赖于标准实数的阿基米德原理：不存在非零的无穷小。也存在不符合阿基米德原理的代数结构，包括标准实数的各种各样的替代品。0.999...的意义与我们使用的结构有关。例如，在对偶数中，引进了一个新的无穷小单位ε，就像复数系统中的虚数单位i一样，但是ε² = 0。这样便得出了一个在自动微分中十分有用的结构。我们可以给予对偶数一个字典序，这样ε的倍数就不符合阿基米德原理。[46]但是，要注意到，作为实数的延伸，在对偶数中仍然有0.999... = 1。尽管ε在对偶数中存在，ε/2也存在，所以ε就不是"最小的正对偶数"。确实是这样，在实数系统中，并不存在这类的数。

另外一种构造标准实数的替代品的方法，是使用部目理论和替代的逻辑，而不是集合论和经典的逻辑（一种特殊情况）。例如，在光滑无穷小分析中，就存在没有倒数的无穷小。[47]

非标准分析因包含了一个有完整无穷小序列的记数系统而众所周知，它提供了一个不同的，也许是更加直观的，对微积分的处理。[48]A.H. Lightstone在1972年提供了一个非标准小数展开式的发展，其中每一个位于(0, 1)之内的扩展的实数，都有一个唯一的扩展的小数展开式：数列0.ddd...；...ddd...，由扩展的自然数作索引。在这种形式 中，0.333...有两种自然的展开式，都不与1/3相差无穷小：

0.333...；...000...不存在，而
0.333...；...333...正好等于1/3。[49]

组合博弈论也提供了替代的实数，无穷的蓝-红Hackenbush就是一个相关的例子。1974年，Elwyn Berlekamp描述了一个Hackenbush字串与实数的二进制展开式之间的对应关系，由数据压缩的想法所促动。例如，Hackenbush字串LRRLRLRL...的值是0.0101012... = 1/3。然而，LRLLL...的值（对应着0.111...2）则与1相差无穷小。两个数的差是超实数1/ω，其中ω是第一个无穷序数；相关的博弈是LRRRR...或0.000...2。[50]

[编辑] 打破减法的惯例

另外一种也可以使以上证明不成立的方法，就是1 − 0.999...根本就不存在，因为减法并不一定就是可能的。具有加法运算但没有减法运算的数学结构包括可交换半群、可交换幺半群，以及半环。里奇曼考虑了两种这类的系统，使得0.999... < 1。

首先，里奇曼把非负的"小数"定义为字面上的小数展开式。他定义了字典序和一种加法运算，注意到0.999... < 1仅仅因为在个位数0 < 1，但对于任何一个有限小数x，都有0.999... + x = 1 + x。所以"小数"的一个独特之处，是等式两边不能同减一个数；另外一个独特之处，就是没有"小数"对应着1⁄3。把乘法也定义了以后，"小数"便形成了一个正的、全序的、可交换的半环。[51]

在定义乘法的过程中，里奇曼还定义了另外一种记数系统，他称之为"切割D"，它是小数的戴德金切割的集合。通常用这种定义便可以得出实数，但对于小数d他既允许切割（−∞, d ），又允许"主切割"（−∞, d ]。这样做的结果，就是实数与"小数""不舒服地住在一起"。这个系统中也有0.999... < 1。在切割D中不存在正的无穷小，但存在一种"负的无穷小"──0−，它没有小数展开式。里奇曼得出结论，0.999... = 1 + 0−，而方程"0.999... + x = 1"则没有解。[52]

[编辑] p进数

主条目：p进数

问到关于0.999...的时候，初学者常常相信应该有一个"最后的9"，也就是说，相信1 − 0.999...等于一个正数，可以写为 "0.000...1"。不管那有没有意义，目标都是明确的：把1加在0.999...中的最后的9上，就会把所有的9变成0，并在个位数留下一个1。如 果考虑到其它的原因，这种想法便不成立了，这是因为在0.999...中，并不存在"最后的9"。[53]对于包含最后的9的无穷多个9，我们必须从别的地方去寻找。

4进整数（黑点），包括数列（3，33，333，...）收敛于−1。10进数的类似等式，是...999 = −1。
4进整数（黑点），包括数列（3，33，333，...）收敛于−1。10进数的类似等式，是...999 = −1。

p进数是在数论中引起兴趣的又一个记数系统。像实数那样，p进数可以从有理数通过柯西序列得到；但是，这种结构使用了另外一种度量，0与p之间的距离比0与1的距离还要近，而0与pn的距离又比0与p的距离近。对于素数p来说，p进数便形成了一个域，而对于其它的p，包括10来说，则形成了一个环。所以在p进数中可以进行算术，这种记数系统也不存在无穷小。

在10进数中，类似于小数展开式的事物位于小数点的左面。10进展开式...999确实有一个最后的9，而没有第一个9。我们可以把1加在个位数上，这样进位之后就只剩下0了：1 + ...999 = ...000 = 0，所以...999 = −1。[54]另外一种推导用到了等比级数。"...999"所指的无穷级数在实数中不收敛，但在10进数中收敛，所以我们可以使用大家熟悉的公式：

\ldots999 = 9 + 9(10) + 9(10)^2 + 9(10)^3 + \cdots = \frac{9}{1-10} = -1.[55]

（与前面的级数比较。）第三种推导是一个七年级学生发明的，他对老师所讲的0.999... = 1的极限证明感到怀疑，但因而产生了灵感，把以上乘以10的证明应用在相反的方向上：如果x = ...999，则10x =  ...990，因此10x = x − 9，所以x = −1。[54]

作为一个最后的延伸，由于0.999... = 1（在实数中），而...999 = −1（在10进数中），那么我们可以"盲目、大胆地摆弄符号"，[56]把两个等式相加起来，得出：...999.999... = 0。这个等式在10进展开式中和标准小数展开式中都是没有意义的，但假如我们研究出一种"双小数"的理论，其中小数点左面和右面都可以无限延伸，那么这个等式便是有意义和正确的。[57]

[编辑] 相关问题

  • 芝诺悖论，特别是奔跑者悖论，使人联想起了0.999...等于1的表面上的悖论。奔跑者悖论可以建立一个数学模型，然后就可以像0.999...那样，用等比级数的方法来解决。然而，我们不确定这种数学的论述是不是提到了芝诺所探索的形而上学的问题。[58]
  • 除以零出现在0.999...的一些讨论中，也引起了争论。大部分作者都愿意定义0.999...，但几乎都不去定义除以零，这是因为它在实数系统中不可能有意义。然而，在某些其它的记数系统中，除以零则是有定义的，例如复数分析，其中扩展的复平面，也就是黎曼球面，在无穷远处"有一个点"。在这里，1/0便定义为无穷大；[59]实际上，这个结果有深远的意义，可以应用在工程和物理学中的许多问题上。有些著名的数学家在两个系统发展起来之前就提出了这样的一个定义。[60]
  • -0是另外一个记数的多余特征。在诸如实数的记数系统中，"0"表示加法单位元，既不是正数又不是负数，"−0"的解释是0的相反数，这便迫使了−0 = 0。[61]然而，在某些科学的应用中，使用了独立的正零和负零，大多数常见的计算机记数系统就是这样的（例如储存在符号和大小或一的补数的格式中的整数，或由IEEE二进制浮点数算术标准所指定的浮点数）。[62][63]

[编辑] 参见

维基共享资源中相关的多媒体资源：
0.999…

[编辑] 注解

  1. ^ 1.0 1.1 参见Silvanus P. Thompson的Calculus made easy中的二进制形式的证明, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
  2. ^ Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
  3. ^ Euler p.170
  4. ^ Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
  5. ^ 例如，J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
  6. ^ 这个极限可以由Rudin p. 57的Theorem 3.20e得出。对于一个更加直接的方法，请参见Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
  7. ^ Davies p.175; Smith and Harrington p.115
  8. ^ Beals p.22; I. Stewart p.34
  9. ^ Bartle and Sherbert pp.60–62; Pedrick p.29; Sohrab p.46
  10. ^ Apostol pp.9, 11–12; Beals p.22; Rosenlicht p.27
  11. ^ Apostol p.12
  12. ^ 历史综合首先由Griffiths and Hilton (p.xiv)在1970年声称，在2001年由Pugh (p.10)再次声称；两本书都把戴德金切割视为公理。关于戴德金切割的应用，请参见Pugh p.17或Rudin p.17。关于逻辑上的观点，请参见Pugh p.10、Rudin p.ix，或Munkres p.30。
  13. ^ Enderton (p.113)形容了这个描述："戴德金分割背后的想法，是每一个实数x都可以用一个有理数的无穷集合，也就是所有小于x的有理数来命名。我们把x定义为小于x的有理数集合。为了避免循环定义，我们需要刻划通过这种方法得出的有理数集合的特征..."（"The idea behind Dedekind cuts is that a real number x can be named by giving an infinite set of rationals, namely all the rationals less than x. We will in effect define x to be the set of rationals smaller than x. To avoid circularity in the definition, we must be able to characterize the sets of rationals obtainable in this way..."）
  14. ^ Rudin pp.17–20、Richman p.399，或Enderton p.119。为了精确，鲁丁(Rudin)、里奇曼和分别把这个分割称为1*、1−，和1R；三者都把它等同于传统的实数1。注意鲁丁和安德顿把它称为戴德金分割，而里奇曼则把它称为"非主戴德金分割"。
  15. ^ Richman p.399
  16. ^ 16.0 16.1 J J O'Connor and E F Robertson（2005年10月）．History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert．MacTutor History of Mathematics．于2006年8月30日查阅．
  17. ^ Mathematics Magazine:Guidelines for Authors．Mathematical Association of America．于2006年8月23日查阅．
  18. ^ Richman pp.398–399
  19. ^ Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" p.386
  20. ^ Griffiths & Hilton pp.388, 393
  21. ^ Griffiths & Hilton pp.395
  22. ^ Griffiths & Hilton pp.viii, 395
  23. ^ Petkovšek p.408
  24. ^ Protter and Morrey p.503; Bartle and Sherbert p.61
  25. ^ Komornik and Loreti p.636
  26. ^ Kempner p.611; Petkovšek p.409
  27. ^ Petkovšek pp.410–411
  28. ^ Leavitt 1984 p.301
  29. ^ Lewittes pp.1–3; Leavitt 1967 pp.669,673; Shrader-Frechette pp.96–98
  30. ^ Pugh p.97; Alligood, Sauer, and Yorke pp.150–152. Protter and Morrey (p.507)和Pedrick (p.29)把这个描述作为一个练习。
  31. ^ Maor (p.60)和Mankiewicz (p.151)考察了第一种方法；Mankiewicz把它归功于康托尔，但原始文献不明。Munkres (p.50)提到了第二种方法。
  32. ^ Rudin p.50, Pugh p.98
  33. ^ Bunch p.119; Tall and Schwarzenberger p.6.最后一个建议要归因于Burrell (p.28)："Perhaps the most reassuring of all numbers is 1.…So it is particularly unsettling when someone tries to pass off 0.9~ as 1."（"也许最令人放心的数就是1。...所以当把0.999...等同于1时，便感到特别别扭。"）
  34. ^ Tall and Schwarzenberger pp.6–7; Tall 2000 p.221
  35. ^ Tall and Schwarzenberger p.6; Tall 2000 p.221
  36. ^ 非标准分析基础　李邦河著
  37. ^ Tall 2000 p.221
  38. ^ Tall 1976 pp.10–14
  39. ^ Pinto and Tall p.5, Edwards and Ward pp.416–417
  40. ^ Mazur pp.137–141
  41. ^ Dubinsky et al. 261–262
  42. ^ 由Richman (p.396)观察到。Hans de Vreught（1994年）．sci.math FAQ: Why is 0.9999… = 1?．于2006年6月29日查阅．
  43. ^ Cecil Adams（2003年7月11日）．An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?．The Straight Dope．Chicago Reader．于2006年9月6日查阅．
  44. ^ Blizzard Entertainment Announces .999~ (Repeating) = 1．Press Release．Blizzard Entertainment（2004年4月1日）．于2006年9月3日查阅．
  45. ^ Gowers p.60
  46. ^ Berz 439–442
  47. ^ John L. Bell. "An Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis" (PDF). Retrieved on 2006年6月29日.
  48. ^ 对于一个完整的非标准数的论述，请参见Robinson的Non-standard Analysis。
  49. ^ Lightstone pp.245–247。在展开式的标准部分中，他没有研究重复的9的可能性。
  50. ^ Berlekamp, Conway, and Guy (pp.79–80, 307–311)讨论了1和1/3，也简略地提到了1/ω。对于0.111...2的博弈可以直接从Berlekamp法则得出，在以下的网站有所讨论：A. N. Walker（1999年）．Hackenstrings and the 0.999… ≟ 1 FAQ．于2006年6月29日查阅．
  51. ^ Richman pp.397–399
  52. ^ Richman pp.398–400. Rudin (p.23)把这个替代的结构作为第一章的最后一个练习。
  53. ^ Gardiner p.98; Gowers p.60
  54. ^ 54.0 54.1 Fjelstad p.11
  55. ^ Fjelstad pp.14–15
  56. ^ DeSua p.901
  57. ^ DeSua pp.902–903
  58. ^ Wallace p.51, Maor p.17
  59. ^ 参见J.B. Conway对默比乌斯变换的论述，pp.47–57。
  60. ^ Maor p.54
  61. ^ Munkres p.34, Exercise 1(c)
  62. ^ Kroemer, Herbert; Kittel, Charles（1980）．Thermal Physics，2e，W. H. Freeman，462．ISBN 0-7167-1088-9． 
  63. ^ Floating point types．MSDN C# Language Specification．于2006年8月29日查阅．

[编辑] 参考文献

  • Dubinsky, Ed, Kirk Weller, Michael McDonald, and Anne Brown（2005年）． "Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS analysis: part 2"．Educational Studies in Mathematics．60：253–266．DOI:10.1007/s10649-005-0473-0．
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kindrobin23
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发帖者 桐花万里丹山路，雏凤清与老凤声 时间： 9/01/2008 06:09:00 下午 0 评论
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